π_hat podle počtu hodů
Křivka ukazuje, jak se s přibývajícími hody stabilizuje odhad hodnoty π.
Parametry experimentu
Připraveno.
Výsledky simulace
Odhad π
zatím málo průsečíků
- Teoretická pravděpodobnost
- -
- Empirická pravděpodobnost
- -
- Průsečíky K
- 0
- Dolní mez CI pro π
- -
- Horní mez CI pro π
- -
- Absolutní chyba
- -
- Relativní chyba
- -
- CI dolní (95 %)
- -
- CI horní (95 %)
- -
- Šířka CI pro π
- -
- z-test (P_hat vs P_theory)
- -
Vizualizace hodů
Postup: 0 / 50000
Analýza konvergence
|π_hat − π| podle počtu hodů
Graf ukazuje, o kolik se aktuální odhad liší od skutečné hodnoty.
Šířka intervalu spolehlivosti pro π_hat
Menší šířka 95% intervalu spolehlivosti znamená přesnější odhad.
Rozdíl P_hat a P_theory podle počtu hodů
Hodnoty blízké nule znamenají dobrou shodu simulace s teorií.
Log-log pohled na konvergenci chyby
Odhad sklonu log-log: -
Sklon blízký −0,5 odpovídá typické Monte Carlo konvergenci O(1/√N).
Konečné odchylky
| P_hat − P_theory | - |
|---|---|
| Absolutní chyba π_hat | - |
| Relativní chyba π_hat | - |
Teorie
Podmínka průsečíku: x <= (l/2) * sin(theta)
Proměnné: x in [0, t/2], theta in [0, pi/2]
V každém hodu se náhodně vylosuje theta a x, ověří se průsečík a aktualizuje se K.
N_done je počet provedených hodů, K je počet průsečíků.
P_hat = K / N_done je empirický odhad pravděpodobnosti průsečíku.
Pro l <= t: P = (2l)/(pi t)
Pro l > t: P = (2/pi) * ((l/t) - sqrt((l/t)^2 - 1) + arccos(t/l))
Pro l <= t: pi_hat = (2l * N_done) / (t * K) při K > 0
pi_hat má smysl pouze pro l <= t.
Chyby: |pi_hat - pi| a |pi_hat - pi| / pi.
Metodika a limity
Monte Carlo odhad konverguje pomalu; chyba typicky klesá jako O(1/sqrt(N)).
pi_hat je validní odhad pouze pro l <= t.
Intervaly spolehlivosti a z-test používají normální aproximaci.
Při malém počtu průsečíků může být odhad nestabilní.